Fréquence et probabilité

Propriété

Quand on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois et dans les mêmes conditions, la fréquence observée de chaque issue se stabilise autour d'une valeur. Pour chaque issue, on prend alors cette valeur comme probabilité de l'issue.

Exemple 1

L'expérience aléatoire consiste à lancer un dé pipé à \(6\) faces. Le dé étant truqué, on ne connaît pas la probabilité de sortie de chacune des faces. Afin de les obtenir, on lance le dé un grand nombre de fois et on note les fréquences observées. On définit ainsi la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Issues}&1&2&3&4&5&6\\\hline\text{Probabilités}&0,1&0,3&0,1&0,2&0,15&0,15\\\hline\end{array}\)

On a bien : \(0,1+0,3+0,1+0,2+0,15+0,15=1\)

Exemple 2

On dispose de `28` dés équilibrés à \(6\) faces et on attribue à `28` enfants un dé chacun. On demande aux enfants de lancer, chacun, `100` fois le dé. On note les effectifs d'apparition de chaque face et on regroupe l'ensemble des résultats dans le tableau ci-dessous. On calcule les fréquences observées de chaque face.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Faces}&1&2&3&4&5&6&\text{Totaux}\\\hline\text{Effectifs}&453&471&461&475&469&471&2800\\\hline\text{Fréquences}&0,1618&0,1682&0,1646&0,1697&0,1675&0,1682&1\\\hline\end{array}\)

On constate que les fréquences observées sont très proches les unes des autres. On peut renouveler cette expérience aléatoire avec un plus grand nombre de lancers. On constate alors que toutes les fréquences sont très proches de \(0,1666\) soit \(\dfrac{1}{6}\).
Ceci s'explique par le fait que toutes les faces du dé ont la même chance d'apparaître, soit `1` chance sur `6`, puisque le dé est équilibré. Pour chaque issue, on prend donc \(\dfrac{1}{6}\) comme probabilité.
Voici la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire :

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Issues}&1&2&3&4&5&6\\\hline\text{Probabilités}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}\\\hline\end{array}\)

On a bien : \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=1\)